Özdeşlik ve Çarpanlara Ayırma

Tanım : Sabit olmayan, birden fazla polinom un çarpımı biçimin

de yazılamayan polinomlara indirgenemeyen polinomlar denir

Baş katsayısı bir olan indirgenemeyen polinomlar

Asal polinomlar denir

 

 

* P(x) = x2 + 4 , Q(x) = 3x2 + 1, R(x) = 2x – 3 , T(x) = - x + 7

Polinomları indirgenemeyen polinomlar dır

 

P(x) = x2 + 4 baş katsayısı 1 olduğundan asal polinom dur

 

 

 

Tanım : İçindeki değişkenlerin alabileceği her değer için doğru

olan eşitliklere özdeşlik denir

 

* a) x3 (x2 – 2x) = x5 – 2x4 b) a2 (x + y)2 = a2 x2 + a2 y2 özdeşlik

c) a2 (x +y)2 = a2 x2 + a2 y2 özdeşlik değildir

 

 

 

ÖNEMLİ ÖZDEŞLİKLER

 

 

 

I) Tam Kare Özdeşliği:

I a) İki Terim Toplamının Karesi : (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

b) İki Terim farkının Karesi : (a – b)2 = a2 – 2ab + b2

 

İki terim toplamının ve farkının karesi alınırken; birincinin

karesi,birinci ile ikincinin iki katı, ikincinin karesi alınır

 

c) Üç Terim Toplamının Karesi:

(a +b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 (ab + ac + bc) şeklindedir

 

 

 

II) İki Terim Toplamı veya Farkının Küpü :

 

a) İki Terim Toplamının Küpü : (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

b) İki Terim Farkının Küpü : (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

 

Birinci terimin küpü;( ) birincinin karesi ile ikincinin çarpımının 3 katı, (+) birinci ile ikincinin karesinin çarpımının 3 katı,( ) ikin

cinin küpü biçimindedir Bu açılımlara Binom Açılımıda denir

 

Not: Paskal Üçgeni kullanılarak 4,5,6,Dereceden iki terimli

lerin özdeşliklerini de yazabiliriz

 

 

 

III) İki Kare Farkı Özdeşliği: (a + b) (a – b) = a2 – b2

 

İki terim toplamı ile farkının çarpımı; birincinin karesi ile

ikincinin karesinin farkına eşittir

 

 

 

IV) xn + yn veya xn - yn biçimindeki polinomların Özdeşliği :

 

i) İki küp Toplam veya Farkı : a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)

a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)

 

ii) a4 + b4 = (a + b) (a3 – a2b + ab2 – b3)

a4 – b4 = (a2 + b2) (a + b) (a – b)

 

iii) a5 + b5 = (a + b) (a4 – a3b + a2 b2 – ab3 + b4)

a5 – b5 = (a – b) (a4 + a3b + a2 b2 + ab3 + b4)

 

iv) a6 + b6 = (a + b) (a5 – a4b + a3 b2 – a2b3 + ab4 – b5)

a6 – b6 = (a – b) (a2 + ab + b2) (a+ b) (a2 + ab + b2)

 

v) a7 + b7 = (a + b) (a6 – a5b + a4b2 – a3b3 + a2b4 – ab5 + b6)

a7 – b7 = (a – b) (a6 + a5b + a4b2 + a3b3 + a2b4 + ab5 + b6)

 

 

 

Özdeşlikleri aşağıdaki şekilleriyle düzenleyerek kullanabiliriz

 

1) x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy

 

2) x2 + y2 = (x – y)2 + 2xy

 

3) (x – y)2 = (x + y)2 – 4xy

 

4) (x + y)2 = (x – y)2 + 4xy

 

5) x3 – y3 = (x – y)3 + 3xy (x – y)

 

6) x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy (x + y)

 

7) x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 – 2 (xy + xz + yz)

 

 

1) İki sayının toplamı 17, kareleri toplamı 145 ise; bu sayıların

çarpımı kaçtır?

x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy 2ab = 289 – 145

145 = (17)2 – 2ab 2ab = 144 ab = 72 C= 72

 

2) a – b = 6 (a + b)2 = (a – b)2 + 4ab (a + b)2 = 44

a b = 2 = ( 6 )2 + 42 (a + b) =

a + b = ? = 36 + 8 =

 

3) a – 2b = 3 ise; a2 + 4b2 = ? a2 + 4b2 = (a – 2b)2 +2 a2b

a b = 2 = ( 3 )2 + 2 2 2 = 17

 

4) a + b = 12 ise; a b = ? (a + b)2 = (a – b)2 + 4ab 4 ab = 108

a – b = 6 ( 12 )2 = ( 6 )2 + 4ab ab = 27

 

5) ise; x2 + y2 = (x – y)2 + 2xy

20

6) ise;

Ç = {- 4 , 4}

 

7) m + n =8 x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y)

m n = 1 m3 + n3 = (m + n)3 – 3mn (m + n)

m3 + n3 = ? = ( 8 )3 – 3 1 8 = 488

 

8) a3 – b3 = 50 x3 – y3 = (x – y)3 + 3xy(x – y)

a – b = 2 ise; a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b)

a b = ? 50 = 8 + 6ab 6ab = 42 ab = 7

 

9) ise; x3 – y3 = (x – y)3 + 3xy(x – y)

= ( 3 )3 + 31( 3 ) = 36

10) ise; x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y)

198

 

11) a + b + c = ? a2 + b2 + c2 = (a + b + c) – 2(ab + aç + bc)

ab + ac + bc = 12 = ( 7 )2 – 2 ( 12 )

a2 + b2 + c2 = ? = 49 – 24 = 25

12) ise;

 

= 15

13) ise; C = 120

14) ise; C = 63

15) ise; C = 154

16) ise; C = 75

17) ise; C = 999

 

 

 

 

 

 

ÇARPANLARA AYIRMA KURALLARI

 

 

 

1) Ortak Çarpan Parantezine Alarak Çarpanlara Ayırma :

Her terimde ortak olarak bulunan çarpan, parantez dışına alınır

Her terimin ortak çarpana bölümü parantez içine yazılır

 

1) Aşağıdaki ifadeleri Çarpanlarına ayırınız

a) 3a + 3b = 3(a + b) b) 5m – 10mn = 5m (1 – 2)

c) 12x + 9y =3(4x + 3y) d) 3a2b – 2ab2 = ab (3a – 2b)

e) 3ax + 3ay – 3az f) (a – b) x + 3 (a – b)

g) (m – n) – (a + b)(m – n) h) – a – b – x2 (a + b)

ı) x2(p – 3) + ma2 (3 – p) i) 1 – 2x + m (2x – 1)

 

 

 

2) Gruplandırma Yaparak Çarpanlara Ayırma :

Bütün terimlerde ortak çarpan yoksa, terimler ikişer, ikişer, üçer,

üçer guruplandırılır Gruplar ayrı, ayrı ortak çarpanlarına ayrılır

 

 

2) a) mx + ny + my + nx b) xy – xb – yb + b2

c) x4 – 4 + 2x3 – 2x d) 2x2 –3x – 6xy + 9y

e) x3 – x + 1 – x2 f) x4 – x + x3 – 1

g) ab(c2 – d2) – cd (a2 – b2) h) ac2 + 3c – bc – 2ac – 6 + 2b

ı) mn(zi + y2) + zy (m2 + n2) i) a2b2 + 1 – (a2 + b2)

 

 

 

3) Tam Kare şeklindeki İfadeleri Çarpanlara Ayırma :

Polinom üç terimli ise, ilk ve son terimin kare köklerinin çarpımı nın iki katı ortadaki terimi veriyorsa, bu tam kare şeklinde ifadedir

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2, a2 – 2ab + b2 = (a – b)2

 

 

3) a) x2 + 4xb + 4b2 b) 4a2 + 12ab + 9b2 c) 4a2b2 – 4abc + c2

 

4) a) a2b + 8ab +16b3 b) 2m3 – 28m2 +98m c) 4x3y – 12x2y2 + 9xy3

 

 

 

4) İki Kare Farkı Şeklindeki İfadeleri Çarpanlara Ayırma :

Polinom iki terimli , işaretleri farklı, kare kökleri alınıyorsa; Bu

Polinom iki kare farkı biçiminde çarpanlarına ayrılır

a2 – b2 = (a + b) (a – b)

 

 

5) a) 25 – 9a2b2 b) x4 – 1 c) (m – n)2 – (m + n)2

 

6) a) 18x2 – 2y2 b) 2a2b3 – 32b c) 12x3y – 75xy5

 

7) a) 9a2 – 6a +1 – b2 b) x2 – 12x + 36 – 4y2 c)16m2 – n2 – 6n – 9

 

d)1 – x2 – 2xy – y2 e) m2 – n2 – 3m + 3n f) a2 – 25b2 – a + 5b

 

g) a2 – 4m2 – 12mn – 9n2 h) 9a2 –16m4 – 12axy + 4x2y2

 

 

 

5) İki Küp Toplamı - Farkı İfadeleri Çarpanlara Ayırma:

 

a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2) , a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)

 

 

8) a) a3 + 8 b) 8 – m3 c) x3 + 1 d) 27a3 – 64 e) x3a3 + b3

 

 

9) a) 81m3 – 3n3 b) 24x3y – 3y c) 2x + 54x4

 

 

10) a) (x +y)3 – 8 b) a3 + 8(a - b)3 c) (m – n)3 + 1

 

 

 

6) xn yn biçimindeki polinomları Çarpanlara Ayırma:

 

 

 

11) a) x4 + 1 = (x + 1) (x3 – x2 + x – 1)

b) x4 – 1 = (x2 + 1) (x + 1) (x – 1)

c) x5 + 25 = (x + 2) (x4 – 2x3 + 4x2 – 8x + 16)

d) x5 – 1 = (x – 1) (x4 + x3 + x2 + x + 1)

 

 

 

7) Bir Terim Ekleyip Çıkararak Çarpanlara Ayırma:

Verilen İfade uygun bir terim ekleme ve çıkarma yolu ile tam kare

ve iki kare farkı şeklinde çarpanlara ayırma işlemine benzetilir

 

 

 

12) 4x4 + 7x2 + 4 ifadesini Çarpanlarına ayırınız

 

4x4 + 7x2 + 4 = 4x4 + 7x2 + 4 + x2 – x2 = 4x4 + 8x2 + 4– x2

= (2x2 + 2)2 – x2

2x2 2 = (2x2 + 2 – x) (2x2 + 2 + x)

22x22 = 8x2 = (2x2 – x + 2) (2x2 + x + 2)

 

 

 

13) x2 – 6x + 5 ifadesini x’li terimin kat sayısının yarısının karesini

ekleyip-çıkararak çarpanlarına ayırınız

x2 – 6x + 5 + 32 – 32 = (x2 – 6x + 32) – 32 + 5 = (x – 3)2 – 4

= (x – 3 – 2) (x – 3 + 2) = (x – 5) (x – 1)

 

 

14) a) m2 + 2m – 24 b) a4 + a2 + 1 c) 16a4 + 4a2b2 + b4

d) a2 – 6ab + 8b2 +2b – 1 (Not: b2 yi bir ekleyip - çıkar )

 

 

 

8) x2 + bx + c şeklindeki üç terimlileri Çarpanlarına Ayırma :

Çarpımları c, toplamları b olan iki sayı arayacağız

Çarpımları (+) ise işaretleri aynı, Çarpımları (–) ise işaretleri farklı

Toplamları (+) “ “ (+) olur Toplamları (+) “ büyüğü (+) olur

Toplamları (–) “ “ (–) olur Toplamları (–) “ büyüğü (–) olur

 

 

15)a) x2 + 5x + 6 b) x2 – 5x + 6 c) x2 + 7x + 6 d) x2 – 7x + 6

e) x2 + 5x – 6 f) x2 – 5x – 6 g) x2 + x – 6 h) x2 – x – 6

ı) x2 – 7x – 18 i) x4 – x2 – 30 k) m2 – 6m – 27 l) x2 – 3xy – 10y2

m) –x2 – 2x + 3 n) x2 – 13x + 30 o) x2 + 2y2– 3xy

 

 

 

 

9) ax2 + bx + c şeklindeki üç terimlileri Çarpanlarına Ayırma :

ax2 + bx + c = (mx + p) (nx + q)

mx p

nx q (mxq + nxq = bx oluyorsa)

 

 

 

16) 6x2 + 7x – 3 = (3x – 1) (2x + 3) olur

3x – 1 (3x 3 – 1 2x = 9x – 2x = 7x olduğundan)

2x + 3

 

17) a) 3x2 – 2x – 8 b) 3x2 – 7x + 2 c) 2m2 + 5mn – 12n2

 

d) 8a2 – 2ab – b e) 4x2 + 21x + 5 f) 36a2 – 33ab – 20b2

 

g) 4m2 + 11m – 3 h) 6a2 + 5a – 6 ı) 12a2 – 8ab – 15b2

 

i) 2m2 – 10m + 12 k) 3x2 + 3x – 18 l) 3 n2 + 30n + 48

 

 

18) a2 + 2ab + b2 = 3 ve c2 + 2ac + 2bc = 6 ise; a + b + c = ?

c2 + 2ac + 2bc = 6 TTT

a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc = 9 (a + b + c)2 = 9 Ç = {-3, 3}

 

 

19) 91) x = 4 , y = 2 ise, x5 – 5x4y + 10x3y2 – 10x2y3 + 5xy4 – y5 = ?

a) 16 b) 32 c) 64 d) 128 e) 256

x5 – 5x4y + 10x3y2 – 10x2y3 + 5xy4 – y5 = (x – y)5 = (4 – 2)5= 32

 

20) 97) , ise; a) 6 b) 8 c)10

a + b yerine ab yazılırsa

(a b)2 – 2ab – 24 = 0 olur a b = y diyelim

y2 – 2y – 24 = 0 y – 6) (y + 4) = 0 y = - 4 ve y = 6

 

21) ise, C = 8

olur (özdeşlikte yerine yazalım )

 

22) ise; C = 36

olur (özdeşlikte yerine yazalım )

 

23) ise; C = 12

olur (yerine yazalım )

 

24) işleminin sonucu kaçtır?

123 =153 – 30 ve 183 =153 + 30 yazılırsa

=153 olur